Resumo: Meu objetivo é cobrir aspectos básicos de geometria hiperbólica do ponto de vista de geometrias clássicas.

Geometrias clássicas são as geometrias que se manifestam naturalmente a partir de um espaço vetorial munido de estrutura Hermitiana. São exemplos de geometrias clássicas: espaços Euclidianos, esferas, espaços hiperbólicos reais e complexos, espaços projetivos reais e complexos com métrica de Fubini-Study, espaços de de Sitter e de anti de Sitter, Grassmannianos, etc.

Com as técnicas que serão apresentadas é possível atacar a geometria Riemanniana, Kähler, Simplética, etc de cada uma dessas geometrias clássicas em um framework unificado e sem coordenadas. Em essência, todos os conceitos geométricos se manifestam em termos de álgebra linear, o que torna a teoria limpa, clara e computacional. Além disso, com essa visão de geometria é possível entender facilmente perguntas como: Qual é o espaço classificador de geodésicas do disco hiperbólico? Como se deforma a geometria esférica na hiperbólica passando pela Euclidiana de jeito visual?

Mais precisamente cobriremos os seguintes tópicos: 1) Formas Hermitianas e estrutura de variedade do espaço projetivo sem coordenadas. 2) Geometria Riemanniana em geometrias clássicas. 3) Grupos discretos e o teorema poligonal de Poincaré para plano euclidiano, esfera e disco hiperbólico. 4) Se der tempo, falarei um pouco sobre espaço de Teichmüller de superfícies hiperbólicas compactas de genus g e por que a dimensão real desse espaço é 6g -6.

Requisitos: Álgebra linear, teoria de grupos, espaços de recobrimento e grupo fundamental, variedades suaves e noções básicas de geometria Riemanniana como métrica, conexão, geodésica e curvatura.

Referências:

1. Geometrias clássicas - Hugo Cattarucci Botós https://drive.google.com/file/d/1k5miEuVn8IoY9MF6458VRpJKD8q3I6rG/view?usp=sharing
2. Anan′in, S. e Grossi, C. H., Geometria não-Euclidiana básica sem coordenadas. https://sites.icmc.usp.br/grossi/gnebsc.pdf
3. Anan′in, S. e Grossi, C. H., Coordinate-free classic geometries. https://arxiv.org/abs/math/0702714